时域：看变化的过程
像聆听一段和弦，看到的是所有声音叠加后的整体。横轴是时间，纵轴是信号的大小。
时间 / TIME →✳ 数学的另一种打开方式 VOL. 01
Fourier Transform
傅里叶变换
复杂的信号，
简单的波。
一段音乐、一张照片、一束无线电波。
换到频率的视角，发现复杂背后的秩序。
不用先读懂公式
先看见，再理解。
波形合成实验
LIVE EXPLORATION几个简单的正弦波，能拼出什么？
FIG. 01
频域 · 相对基频振幅每一根线，都是一种频率
谐波数量04 / 12
拖动滑块，观察谐波越多，波形如何逐渐成形。
虚线为目标，实线为近似
傅里叶级数 · f₀ 为基频；方波、三角波只取奇次谐波。
01 / THE BIG IDEA
同一个世界，两种观察方式。
时域告诉你“何时变化”，
频域告诉你“由什么组成”。
ℱ换个视角
频域：看组成的成分
像辨认和弦里的每一个音符。横轴是频率，峰的高度表示对应成分的振幅。
频率 / FREQUENCY →这里展示的是振幅谱。完整重建信号，还需要各个频率的相位信息。
02 / UNDER THE HOOD
用旋转，找到隐藏的频率。
试着把探针调到 2 Hz 和 5 Hz，
观察平均向量如何变化。
X(f) = ∫−∞+∞ x(t) e−i2πft dt
把信号和一个旋转的“探针”相乘，再累加。
频率匹配时，结果更容易累积；不匹配时，往往互相抵消。
x(t) 原始信号e−i2πft 按频率 f 旋转∫ … dt 沿时间累加X(f) 振幅与相位信息
FREQUENCY DETECTOR
让信号绕一个圈。
x(t) = cos(2π · 2t) + 0.5 sin(2π · 5t)
01 / 旋转后的轨迹 绿色向量 = 所有采样点的平均
02 / 每个频率留下多少？观察 2 秒 · 512 个等间隔样本
试探频率
2.00 Hz
0 Hz7 Hz
平均向量长度0.500
2 Hz 成分：振幅 1，平均向量长度约 0.5
演示计算 C₂(f) = ½ ∫₀² x(t)e−i2πftdt 的采样近似，保留信号正负号。它是有限窗、归一化的变换；窗长会带来谱泄漏，所以不匹配频率的结果也可能不为零。匹配时稳定的是平均向量，轨迹仍在旋转。
03 / MAKE IT YOURS
亲手调一段信号。
振幅决定“有多少”，相位决定“从哪开始”。
调节频域的成分，观察时域如何回应。
成分 11 Hz
振幅 A
相位 φ
成分 23 Hz
振幅 A
相位 φ
成分 35 Hz
振幅 A
相位 φ
时域 / 合成后的信号观察 2 秒
白线：合成信号彩线：各个正弦分量
频域 / 振幅与相位固定频率 1、3、5 Hz
试一试：只改变 3 Hz 的相位。频谱柱子的高度不变，白色波形却变了。
合成关系：x(t) = Σ Aₖ sin(2πfₖt + φₖ)。这里显示的是正弦分量的振幅与起始相位；振幅为零时，相位不影响结果。
04 / OUT IN THE WORLD
从一个公式，到你的每一天。
声音处理
把声音分成不同频率，就能均衡音色、识别音高，或削弱特定频段的噪声。
音乐 · 语音 · 音频分析图像处理
图像也有空间频率。缓慢变化的区域对应低频，细节与边缘通常包含更多高频。
去噪 · 模糊 · 图像重建无线通信
让信息搭乘不同频率的载波。频率分析帮助接收端分离信道，解读传来的信号。
Wi-Fi · 广播 · OFDM 把频谱的变化，听出来
如果移除高频，
声音会怎样？
这个声音由 220、660 和 1100 Hz 的正弦波组成。用理想低通保留截止频率以下的成分，再重新合成。
FIG. 03
220 Hz 保留660 Hz 保留1100 Hz 保留
截止频率700 Hz
200 Hz1500 Hz
本实验使用理想频率截断。真实滤波器通常有渐变的过渡带。
KEEP EXPLORING
把几个容易混淆的概念，理清楚。
傅里叶级数
面向周期信号。用基频及其整数倍频率的正弦、余弦或复指数叠加表示。
傅里叶变换
用连续频率变量描述信号的频率组成。上面的积分公式采用 Hz 作为频率单位。
离散傅里叶变换
把 N 个采样值变成 N 个复数频率系数。频点间隔 Δf = fₛ/N = 1/T。
快速傅里叶变换
高效计算 DFT 的算法。典型复杂度为 O(N log N)，结果仍是同一个 DFT。
为什么方波拐角处总有“小尖峰”？+
这是吉布斯现象。对幅值 ±1、占空比 50% 的零均值方波，奇次谐波振幅为 4/(πn)。加入更多谐波会让跳变附近的振铃区域变窄，但峰值过冲不会完全消失；在跳变点，级数趋近两侧极限的平均值。
采样越多，频谱就一定更精细吗？+
频点间隔取决于观察时长 T：Δf = 1/T。固定时长下提高采样率，会提高可表示的最高频率，但不会缩小频点间隔。为避免混叠，采样前应限制带宽，采样率需高于最高频率的两倍；补零只让频谱显示更密。
只保存振幅谱，可以还原声音吗？+
通常不可以。相位记录各频率成分在时间上的相对位置。只保留振幅会丢失这些关系；完整的复数傅里叶系数同时包含振幅和相位，才能进行对应的逆变换。